Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Gerak Parabola (Peluru)

                Perpaduan gerak lurus beraturan (GLB) pada sumbu x dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada sumbu y pada sistem koordinat kartesius merupakan gerak yang lintasannya berbentuk parabola.

A.   Pembuktian Gerak Parabola

Pembuktian bahwa gerak peluru itu berbentuk suatu parabola adalah sebagai berikut:

1.       Hambatan udara diabaikan

2.       Nilai g tetap

3.       X₀=Y₀= tetap

(i)                  Berdasarkan rumus GLB pada sumbu x didapatkan persamaan

(ii)                Berdasarkan rumus GLBB pada sumbu y didapatkan persamaan

Dengan melakukan substitusi t dalam persamaan y maka didapatkan:

Dengan menganggap A=  dan B=  maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi:

  yang tidak lain adalah persamaan kuadrat yang bila digambarkan dalam koordinat kartesius berbentuk parabola.

B.    Menghitung Kecepatan Awal Gerak Parabola

Kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y dapat dicari dengan pendekatan matematis yaitu menggunakan trigonometri:

 

V_0y                            V₀

                α     V_0x

Berdasarkan perhitungan trigonometri pada segitiga siku-siku diketahui bahwa:

  dan

Sehingga diperoleh

Kecepatan awal pada sumbu x adalah

Kecepatan awal pada sumbu y adalah

C.    Menghitung Waktu Maksimum t dan tinggi maksimum (y_maks)

Saat benda berada di puncak, maka berdasarkan gerak vertikal ke atas diperoleh waktu untuk mencapai titik tertinggi yaitu:

V_t = V_0y - gt

<=>V_oy - V_t = gt

<=> t =  

<=> t =

Karena kecepatan pada saat berada di puncak adalah 0 maka V_t=0, sehingga diperoleh

<=> t =

Untuk mencari ketinggian puncak (y_maks) dapat digunakan rumus mencari kedudukan pada gerak lurus berubah beraturan dengan memanfaatkan waktu t untuk mencapai titik tertinggi tersebut.

 

D.   Menghitung Jarak Terjauh (x_max) dan Waktu untuk mencapai jarak terjauh (t_x)

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak terjauh adalah dua kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum. Ilustrasi berikut ini akan menjelaskan waktu untuk mencapai jarak terjauh.

                               t (waktu pada ketinggian maksimum)

                                                   t_x (waktu pada jarak terjauh)

Sehingga t_x=  

E.         Contoh Gerak Parabola Dalam Kehidupan Sehari-hari

Ada beberapa contoh gerak parabola dalam kehidupan sehari-hari, antara lain:

1.       Gerak bola yang ditendang. Gerakan lintasan bola yang dimaksud disini adalah gerak pada  lintasan yang membentuk parabola.

2.       Gerak peluru yang ditembakkan. Tentunya lintasan peluru yang dimaksud disini adalah lintasan yang berbentuk parabola.

GERAK MELINGKAR

Gerak melingkar mempunyai lintasan berbentuk lingkaran, arah kecepatan selalu berubah yaitu dalam arah tegak lurus jari-jari lintasannya serta mempunyai percepatan sentripental yang selalu mengarah pada pusat lingkaran.

1. Gerak Melingkar Beraturan

Pada gerak melingkar beraturan, benda bergerak pada lintasan berbentuk lingkaran dengan laju tetap, sedangkan kecepatannya terus menerus berubah sesuai dengan posisinya pada lingkaran tersebut.

r

v

v

v

v

 

                                   

Gambar di atas adalah gambar sebuah partikel A bergerak dengan laju tetap pada lintasan lingkaran dengan jari-jari r, sedangkan arah kecepatannya selalu berubah.

Contoh gerak melingkar beraturan adalah gerak jarum arloji, dan gerak satelit pada orbitnya.

Gerak melingkar beraturan percepatannya :

a = ∆v / ∆t

berdasarkan definisi percepatan ini, arah kecepatan benda yang selalu berubah pada gerak melingkar beraturan akan menimbulkan percepatan.

2. Besaran Fisis Pada Gerak Melingkar Beraturangerak Melingkar Beraturan

a.      Besaran sudut (Ɵ)

Perhatikan sebuah partikel yang bergerak mengelilingi sebuah lingkaran dengan jari-jari r, seperti gambar di bawah ini:

Ɵ

v

r

r

 

Untuk menjelaskan posisi partikel atau sejauh mana partikel ini mengelilingi lingkaran, digunakan sudut Ɵ (baca: theta). Posisi partikel berpindah sebesar Ɵ setelah benda tersebut bergerak sejauh s pada keliling lingkaran. Besar sudut Ɵ dinyatakan dalam radian. Suatu radian (rad) didefinisikan sebagai sudut dimana panjang busur lingkaran (s) sama jari-jari lingkaran tersebut (r). Pada gambar di atas, bila s = r maka Ɵ akan bernilai 1 rad. Secara umum, besaran sudut Ɵ ditulis :

Ɵ = s/r

Dimana      r  =  jari-jari lngkaran (m)

                  s = panjang busur lingkaran (m)

                  Ɵ = sudut (rad), 1 rad = 57,3⁰                       

b.      Kecepatan dan laju anguler (ω)

Pada gerak melingkar, besaran yang menyatakan seberapa jauh benda berpindah (Ɵ) dalam selang waktu tertentu 9t) disebut sebagai kecepatan anguler atau kecepatan sudut (ω).

Kecepatan sudut rata-rata:

                 

Sedangkan kecepatan sedut sesaat dinyatakan :

c.       Periode (T)

Periode adalah waktu yang dibutuhkan oleh suatu benda untuk bergerak satu putaran (T).

T = Perpindahan anguler / kecepatan anguler

T =  atau    ………………………………..(1)

dimana   T = periode (sekon)

                  ω = kecepatan sudut (rad/s)

                  2 = perpindahan anguler untuk satu putaran

Bila jumlah putaran benda dalam satu sekon (frekuensi putaran) dinyatakan sebagai f, maka diperoleh hubungan:

 ……………………..(2)

Dengan memasukkan persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh:

T =  periode (sekon)

F = frekuensi (1/s)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

d.      Kecepatan dan laju linier

Rumus persamaan untuk laju linier rata-rata adalah

Bila benda bergerak satu putaran, maka panjang lintasan menjadi 2 r dan selang waktu tempuhnya menjadi T. Persamaan kecepatan atau laju linier menjadi:

 atau v = 2 f r

           

Contoh soal:

Sebuah benda bergerak melingkar beraturan. Dalam selang waktu 20 detik, benda tersebut melakukan putaran sebanyak 80 kali. Tentukan periode dan frekuensi gerak benda tersebut.

Penyelesaian:

a.       Periode (T)

Waktu tempuh = 20 sekon

Jumlah putaran = 80

T = waktu tempuh total / jumlah putaran

   = 20 / 80

   = 0,25 sekon

b.      Frekuensi (f)

4 Hertz

e.       Hubungan kecepatan linier dan kecepatan anguler

v = ωr

Contoh:

Roda sebuah mesin gerinda dengan diameter 25 cm berputar dengan kecepatan sudut 2400 rpm. Tentukanlah laju linier sebuah titik yang terletak pada permukaan roda gerinda tersebut.

Penyelesian:

ω = 2400 rpm =  2400. = 80 rad/s

v = ωr

   = 80 rad/s .

   = 1000 cm/s

   = 3140 cm/s

   = 3,14 m/s

f.       Percepatan sudut (α)

Percepatan sudut didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk perubahan tersebut.

Percepatan sudut rata-rata

           

Dimana      ω   = kecepatan sudut akhir (rad/s)

                  ω₀ = kecepatan sudut awal (rad/s)

 = percepatan sudut rata-rata (rad/ s²)

Percepatan sudut sesaat dinyatakan dalam persamaan:

Contoh:

Sebuah motor listrik berada dalam keadaan diam, kemudian dipercepat selang waktu 400 sekon sehingga kecepatan sudutnya mencapai 15000 rpm. Tentukan percepatan sudut motor listrik tersebut!

Penyelesaian:

1 rpm = 2 / 60 rad/s

ω₀      =  0 rpm

ω₁         = 15000 rpm = 15000 x rad/s = 1570 rad/s

= 3,925 rad/ s²

g.      Percepatan Sentripental

Atau

Contoh:

Bulan bergerak mengelilingi bumi dengan lintasan hamper berbentuk lingkaran dengan jari-jari 385.000 km. Waktu yang dibutuhkan bulan untuk satu kali putaran adalah 27,3 hari. Tentukan besarnya percepatan bulan.

Penyelesaian:

Pada saat mengelilingi Bumi, Bulan akan menempuh lintasan sepanjang 2 r dengan laju v.

T =27,3 hari = 2358720 sekon

m/s

 Percepatan bulan:

 m/s²

     

h.      Hubungan percepatan sentripental dengan percepatan sudut

Misalkan sebuah benda yang bergerak melingkar dalam selang waktu ∆t berubah kecepatan angulernya sebesar ∆ω, sehingga kecepatan linier benda tersebut berubah juga sebesar ∆v.

v = ∆r ∆ω  ……………………………………………..(3)

bila ruas kiri dan kanan persamaan (3) dibagi dengan ∆t maka diperoleh persamaan:

Untuk ∆t mendekati nol maka

                   Sementara itu,

    sedangkan

Sehingga diperoleh hubungan antara percepatan sedut dengan percepatan sentripental

                        a_s = ra

3. Gerak Melingkar Beraturan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak melingkar pada sebuah mesin penggerak dalam mesin penggilingan padi. Dalam mesin penggerak ini dijumpai dua buah roda sepusat dengan diameter yang berbeda. Roda dengan diameter yang besar (r₂) disebut sebagi roda gila (flywheel), sedangkan roda dengan diameter yang lebih kecil (r₁) disebut roda penggerak sabuk karena pada roda inilah sabuk ditempatkan. Roda gila dan penggerak sabuk mempunyai sumbu yang sama (satu poros), pada saat diputar maka kedua roda ini mempunyai kecepatan anguler (ω) yang sama dengan arah putar yang sama pula.

ω_{1 =}  ω₂

Sehingga diperoleh hubungan:

            Perhatikan gambar berikut:

Pada bagian penggiling padi, terdapat sebuah roda yang dihubungkan dengan roda penggerak sabuk menggunakan sabuk (belt). Roda ini dihubungkan dengan mesin penggiling sehingga perputaran mesin penggiling dapat mengupas kulit padi yang dimasukkan dari atas dan pada bagian bawah mesin akan keluar beras hasil penggilingan. Bila tidak terjadi slip antara sabuk dengan roda-roda tersebut maka roda penggerak sabuk (roda 1) dan roda mesin penggiling (roda 3) mempunyai kelajuan linier yang sama.

Sehingga diperoleh hubungan:

Bila  maka ω₁ menjadi lebih besar dari ω₃, sehingga dapat disimpulkan bahwa roda-roda yang mempunyai sumbu putar yang sama mempunyai laju anguler yang sama, sedangkan roda-roda yang dihubungkan dengan sabuk mempunyai laju linier yang sama.

Contoh soal:

Sebuah mesin penggiling padi mempunyai roda-roda dengan diameter 12 cm dan 40 cm. Kedua roda dihubungkan dengan sabuk. Bila roda yang kecil diputar dengan laju anguler tetap sebesar 80 rad/s. Tentukanlah laju linier kedua roda dan laju anguler (dalam rpm) roda dengan diameter yang lebih besar!

Penyelesaian:

1. Laju linier kedua roda

Jadi, kedua roda dihubungkan dengan sabuk sehingga laju liniernya sama, yaitu 4,8 m/s

2. Laju anguler roda 2

Contoh lain gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak roda-roda pada sepeda yang dihubungkan dengan rantai

4. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

Menurut hokum Newton II, suatu benda yang mengalami gerak dipercepat harus mempunyai gaya netto yang bekerja pada benda tersebut dan besarnya dirumuskan dalam bentuk:

F = m a

                                    Dimana: F = gaya

                                                   m = massa benda

                                                   a = percepatan benda

Agar benda yang bergerak melingkar memiliki laju yang tetap dan tetap dalam lintasan berbentuk lingkaran, maka gaya harus tetap diberikan pada benda tersebut. Bila gaya ini dihilangkan, benda akan bergerak pada lintasan lurus. Besarnya gaya yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak melingkar dapat ditentukan dengan memasukkan nilai percepatan sentripetal ke dalam persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan:

Gaya ini juga mengarah pada pusat lingkaran sehingga disebut gaya sentripetal (Fs)

Sementara itu,  atau , sehingga diperoleh persamaan

atau

Adapun , sehingga diperoleh persamaan:

Contoh soal:

Bila jarak antara pusat bumi dan bulan adalah 3,85 x 10⁸ m, sedangkan massa bulan adalah 7,35 x 10²² kg, tentukanlah besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan bila periode bulan mengelilingi bumi adalah 27,3 hari. (Asumsikan orbit bulan mengelilingi bumi berbentuk lingkaran)

Penyelesaian:

Besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan dapat dihitung menggunakan persamaan gaya sentripetal.